Mathematische Exkursionen FAQIR Formelsprache für A über Q zur Implementierung auf Rechnern

Die Konstruktion der Algebra
R   Mit R bezeichnen wir den Körper der reellen Zahlen
Q   Mit Q bezeichnen wir den Körper der rationalen Zahlen
E Mit E geben wir eine Erweiterung von Q vom Grad 3 an
A Mittels E wird eine Algebra A vom Grad 9 über Q so konstruiert, dass A keine Nullteiler besitzt, was gleichbedeutend damit ist,
dass A eine Divisionsalgebra ist.
 
Zur Konstruktion von E definieren wir
u := 2 cos (2 π / 7) R
v := 2 cos (4 π / 7) R es folgt  v = u² - 2
w := 2 cos (6 π / 7) R es folgt  w = -u² - u + 1
 
E := Q (u) ist ein Körper, der wegen u³ = -u² + 2u + 1 die Dimension 3 über Q hat.
Ebenso wie die Elemente 1, u, u² bilden auch u, v, w eine Basis von E über Q.
Wir können jedes a E folgendermassen darstellen: a = α + βu + γu² mit  α, β, γ Q.
 
Für die Konstruktion von A benötigen wir des weiteren ein Symbol j, das in E nicht vorkommt
und die Q-lineare Abbildung σ von E auf E:
σ : α + β u + γ u ²  —>  α + β σ(u) + γ σ(u) ²
 
Zur Konstruktion von A nehmen wir ein γ aus Q*\N(E*) und definieren:
A := α + β u + δ u ² + ε j + ζ uj + η u ² j + κ j ² + λ uj ² + μ u ² j ² mit  α,β,δ,ε,ζ,η,κ,λ,μ Q.
Addition, Multiplikation sowie die Inversenbildung sind in meiner Doktorarbeit aus dem Jahr 1992 dargestellt.
Aus der Multiplikation ergibt sich: j³ = γ
A ist ein Ring mit E C A. In A gelten die Distributiv- und Assoziativgesetze aber A ist nicht kommutativ.
 
Seite 1 - Die Konstruktion der Algebra
Seite 2 - Die Multiplikationstafel
Seite 3 - Die Addition und Multiplikation
Seite 4 - Die Inversenbildung
Seite 5 - Die Berechnung von a * b * c
Seite 6 - Der Satz
Seite 7 - Die Berechnung von  e•1/d•id•e  und  f•1/b•ib•f
Seite 8 - Die Berechnung der Punkte c1 und c2
Seite 9 - Die erste Matrix
Seite 10 - Die vereinfachte Matrix
Seite 11 - Das erste Ergebnis